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By Alain Soyeur, Lycée Fermat

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Théorie évolutionniste de la liberté

Il y a des milliards d'années, il n'y avait pas de liberté sur Terre. motor vehicle il n'y avait pas de vie. Quelles formes de liberté se sont développées depuis les origines de l. a. vie ? Peut-il y avoir libre arbitre dans un monde déterminé ? Si nous sommes libres, sommes-nous responsables de notre liberté ou n'est-ce qu'un hasard ?

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1. Il n’y a pas unicit´e des coordonn´ees polaires d’un point. Si (ρ,θ) est un couple de coordonn´ees polaires d’un point M , les couples suivants sont ´egalement des coordonn´ees polaires de M : – (ρ,θ + 2kπ) (k ∈ Z) – (−ρ,θ + (2k + 1)π) (k ∈ Z) x 2. Si M , et si (ρ,θ) est un couple de coordonn´ees polaires du point M , y R – On exprime les coordonn´ees cart´esiennes de M en fonction d’un couple de coordonn´ees polaires par les formules : x = ρ cos θ y = ρ sin θ – On peut trouver un couple de coordonn´ees polaires du point M en fonction des coordonn´ees cart´esiennes par les formules : ρ = x2 + y 2 y tan θ = x (si x = 0, prendre θ = +π/2 lorsque y > 0 ou θ = −π/2 si y < 0).

Montrer que arctan a + arctan x = arctan a+x + επ 1 − ax (ε ∈ {−1,0,1}) Exercice 3-8 x . Simplifier pour x ∈] − 1,1[, arctan √ 1 − x2 Exercice 3-9 ´ Etudier la fonction d´efinie par f (x) = 2 arctan th(x) − arctan sh(2x) . 5 Fonctions hyperboliques r´ eciproques Fonction argsh La fonction sh r´ealise une bijection strictement croissante de ]−∞,∞[ vers J =]−∞,∞[. On appelle argsh = sh −1 sa bijection r´eciproque. y = sh x y = argsh x Fig. 10 – Fonctions sh et argsh La fonction argsh est d´erivable sur R et ∀x ∈ R, argsh (x) = √ 1 1 + x2 On a l’expression logarithmique de argsh : argsh x = ln(x + x2 + 1) On en d´eduit que √ 1 dx = argsh(x) + C = ln(x + 1 + x2 x2 + 1) + C Fonction argch La restriction de la fonction ch a ` l’intervalle I = [0, + ∞[ r´ealise une bijection strictement croissante de I vers [1, + ∞[.

1 : syst` emes li´ es → ,− →− → On dit que trois vecteurs (− u eme li´e si l’un des vecteurs s’exprime 1 u2 ,u3 ) de l’espace forment un syst` comme combinaison lin´eaire des deux autres. Si un syst`eme n’est pas li´e, on dit qu’il est libre. Alors tout vecteur de l’espace s’´ecrit de fa¸con unique comme combinaison lin´eaire de ces trois vecteurs. On dit que le syst`eme est une base de l’espace. 2 : Rep` ere cart´ esien Un rep`ere cart´esien de l’espace est la donn´ee d’un point (l’origine du rep`ere) et de trois vecteurs − − − formant une base de l’espace.

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