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By I Juhasz

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Example text

Una base determina univocamente la topologia: infatti gli aperti sono tutte e sole le unioni arbitrarie di elementi della base. 7. Siano X un insieme e B ⊂ P(X) una famiglia di suoi sottoinsiemi. Allora esiste una topologia su X di cui B è una base se e soltanto se sono soddisfatte le seguenti due condizioni: 1. X = ∪{B | B ∈ B}. 2. Per ogni coppia A, B ∈ B e per ogni punto x ∈ A ∩ B esiste C ∈ B tale che x ∈ C ⊂ A ∩ B. Dimostrazione. La necessità delle due condizioni è chiara, vediamo la sufficienza.

2. Se U, V ∈ I(x), allora U ∩ V ∈ I(x). Dimostrazione. Se U è un intorno di x vuol dire che esiste un aperto A tale che x ∈ A ⊂ U . Se U ⊂ V a maggior ragione x ∈ A ⊂ V e quindi anche V è un intorno di x. Se U, V sono intorni di x vuol dire che esistono due aperti A, B tali che x ∈ A ⊂ U , x ∈ B ⊂ V . Dunque x ∈ A ∩ B ⊂ U ∩ V . Il passaggio al complementare permette di dare una utile caratterizzazione della chiusura di un sottoinsieme. 21. Sia B un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Allora un punto x ∈ X appartiene a B se e solo se per ogni intorno U ∈ I(x) vale U ∩ B = ∅.

Mostrare che X è finito e totalmente ordinato. 20. Sia ≺ una relazione su di un insieme X tale che: 1. Per ogni x, y ∈ X, almeno una delle due relazioni x ≺ y, y ≺ x è falsa. 2. Se vale x ≺ y e y ≺ z, allora x ≺ z. Dimostrare che la relazione x≤y ⇐⇒ x ≺ y oppure x = y è una relazione di ordine. 21. , f n = f ◦ f n−1 , ... le iterate di f . Consideriamo la relazione “x ≤ y se esiste n ≥ 0 tale che x = f n (y)”. Dimostrare che ≤ è una relazione di ordine su X se e solo se ogniqualvolta f n (x) = x per qualche n > 0 e x ∈ X vale f (x) = x.

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